Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 57
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Vamos começar tentando calcular o nosso limites dado.
Aplicando a tendência de , ficamos com:
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo .
Como não sabemos o resultado desse limite, precisamos modificar um pouco a forma algébrica com a função está escrita. Para isso podemos usar a relação:
temos que
E passando o limite para o expoente, teremos:
Olhando só para o expoente, o limite que nos interessa é:
Vamos tentar calculá-lo.
Passo 3
Aplicando a tendência do , ficamos com:
Note que isto é uma indeterminação do tipo , de modo que não podemos usar a regra ainda. Vamos mexer na função mais um pouco então.
Passo 4
Vamos fazer uma mudança de variável
assim quando
além disso,
Assim, o limite fica
Agora temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!
Passo 5
Derivando tanto o numerador como o denominador:
A derivada de é feita usando a regra da cadeia:
E a derivada de é igual a 1.
Assim, nosso limite se transforma em:
O que no dá:
E aplicando a tendência do , ficamos com:
Lembrando que estávamos calculando o limite que estava no expoente.
Portanto,