Derive a função.

G(y) = ln((2y + 1)^5 / raiz(y^2 + 1))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos pede que derivemos a seguinte função:

G y = ln ⁡ 2 y + 1 5 y 2 + 1

A primeira coisa que devemos saber é que a derivada do logaritmo natural é dada por:

ln ⁡ u ' = 1 u u '

Mas antes de derivar, a gente pode utilizar uma propriedade dos logaritmos para deixar essa função de uma forma mais fácil de a gente derivar.

Se liga nas propriedades:

log ⁡ x y = log ⁡ x - log ⁡ y

E

log ⁡ x p = p log ⁡ x

Regra da cadeia:

d d x f g x = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Esta é uma regra fundamental para derivar funções compostas. A derivada de uma função composta é o produto da derivada da função externa avaliada na função interna f ' g x pela derivada da função interna g ' x .

Na resolução da derivada da função G ( y ) , usamos a primeira e a segunda propriedades dos logaritmos para simplificar a função original, e depois usamos a regra da cadeia para derivar cada termo.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Temos que:

G y = ln ⁡ 2 y + 1 5 y 2 + 1

Arrumando um pouco essa expressão, temos que:

G y = ln ⁡ 2 y + 1 5 - ln ⁡ y 2 + 1 1 2 ∴

G y = 5 ln ⁡ 2 y + 1 - 1 2 ln ⁡ ( y 2 + 1 )

Derivando essa função, temos que:

G ' y   = 5 * 1 2 y + 1 * 2 y + 1 ' - 1 2 * 1 y 2 + 1 y 2 + 1 ' ∴

G ' y = 5 ⋅ 1 2 y + 1 ⋅ 2 - 1 2 ⋅ 1 y 2 + 1   ⋅ 2 y ∴

G ' y = 10 2 y + 1 - y y 2 + 1

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

10 2 y + 1 - y y 2 + 1

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