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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 13

Encontre f^' ( x ) :

13. f (x) = sqrt(4 + sqrt(3 x))

Passo 1

Algumas funções são mais trabalhosas de se derivar, principalmente quando são compostas, envolvem frações, raízes, etc. Mas não tem mistério, juro! Só fazer devagar, aplicando a regra da cadeia, como sempre, que tudo dá certo!!

Essa f ( x ) , uma função raiz composta, pode ser representada assim:

f (x) = g [h (x) + i ( j ( x ) )]

Onde j (x) = 3 x , i (j ( x )) = sqrt(3 x) , h (x) = 4 , e g [h (x) + i (j ( x ))] = sqrt(4 + sqrt(3 x)) .

Aplicando a regra da cadeia, derivando “ de fora pra dentro”, temos pra f^' ( x ) :

f^' (x) = g^' [h (x) + i ( j ( x ) )] * [h^' (x) + i^' ( j ( x ) ) * j^' ( x )]

E você lembra como é a derivada de uma função raiz quadrada do tipo f (u) = sqrt(u) ? Tem o seguinte formato:

f^' (u) = (1)/(2 sqrt(u)) * u '

Onde a multiplicação por u ' aqui é justamente a aplicação da regra da cadeia, já que u pode ser qualquer coisa, inclusive uma função!

Aqui, no caso, o termo (1)/(2 sqrt(u)) representa g^' [h (x) + i ( j ( x ) )] e u ' vai ser [h^' (x) + i^' ( j ( x ) ) * j^' ( x )] .

Passo 2

Assim, seguindo o modelinho acima, vamos derivar nossa função. Vamos ter:

f^' (x) = (1)/(2 sqrt(4 + sqrt(3 x))) * [0 + (1)/(2 sqrt(3 x)) * 3]

f^' (x) = (1)/(2 sqrt(4 + sqrt(3 x))) * [(3)/(2 sqrt(3 x))]

f^' (x) = (3)/(4 sqrt(4 + sqrt(3 x)) * sqrt(3 x))

Passo 3

Pra simplificar mais nossa resposta, vamos multiplicar os radicais no denominador.

Quando fazemos isso, mantemos o radical e multiplicamos os conteúdos – isso pra radicais de mesmo íncice (ambos raizes quadradas).

Vamos ter:

f^' (x) = (3)/(4 sqrt((4 + sqrt(3 x)) * 3 x))

:. f^' (x) = (3)/(4 sqrt(12 x + 3 x sqrt(3 x)))

Resposta

f^' (x) = (3)/(4 sqrt(12 x + 3 x sqrt(3 x)))

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Suponha que f e g sejam funções, tais que f ' x = 1 x e f ∘ g x = x . Prove que se g ' ( x ) existir, então g ' x = g ( x ) .
Use o resultado do Exercício 52 (a) para provar que se g for uma função par e g ' ( x ) existir, então se h x = ( f ∘ g ) ( x ) e se f for derivável em toda parte, h ' 0 = 0 .
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 2
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 2
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 4