Encontre f'(x) :

13.f(x) = raiz(4 + raiz(3x))

Passo 1

Algumas funções são mais trabalhosas de se derivar, principalmente quando são compostas, envolvem frações, raízes, etc. Mas não tem mistério, juro! Só fazer devagar, aplicando a regra da cadeia, como sempre, que tudo dá certo!!

Essa f ( x ) , uma função raiz composta, pode ser representada assim:

f x = g h x + i ( j ( x ) )

Onde j x = 3 x , i j ( x ) = 3 x , h x = 4 , e g h x + i j ( x ) = 4 + 3 x .

Aplicando a regra da cadeia, derivando “ de fora pra dentro”, temos pra f ' ( x ) :

f ' x = g ' h x + i ( j ( x ) ) ∙ h ' x + i ' ( j ( x ) ) ∙ j ' ( x )

E você lembra como é a derivada de uma função raiz quadrada do tipo f u = u ? Tem o seguinte formato:

f ' u = 1 2 u ∙ u '

Onde a multiplicação por u ' aqui é justamente a aplicação da regra da cadeia, já que u pode ser qualquer coisa, inclusive uma função!

Aqui, no caso, o termo 1 2 u representa g ' h x + i ( j ( x ) ) e u ' vai ser h ' x + i ' ( j ( x ) ) ∙ j ' ( x ) .

Passo 2

Assim, seguindo o modelinho acima, vamos derivar nossa função. Vamos ter:

f ' x = 1 2 4 + 3 x ∙ 0 + 1 2 3 x ∙ 3

f ' x = 1 2 4 + 3 x ∙ 3 2 3 x

f ' x = 3 4 4 + 3 x ∙ 3 x

Passo 3

Pra simplificar mais nossa resposta, vamos multiplicar os radicais no denominador.

Quando fazemos isso, mantemos o radical e multiplicamos os conteúdos – isso pra radicais de mesmo íncice (ambos raizes quadradas).

Vamos ter:

f ' x = 3 4 4 + 3 x ∙ 3 x

∴ f ' x = 3 4 12 x + 3 x 3 x

Resposta

f ' x = 3 4 12 x + 3 x 3 x

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