Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 80
Lembre que uma função é par se e ímpar se para todo no domínio de . Supondo que seja diferenciável, prove que:
- será ímpar de for par.
- será par se for ímpar.
Passo 1
Pra comprovarmos essas afirmativas que o exercício traz, vamos trabalhar com a regra da cadeia.
Já sabemos de exercícios anteriores que a derivação com o uso da regra da cadeia é como o descascar de uma cebola: vamos adentrando as camadas.
A derivação de uma função composta é assim, vamos adentrando a função, como camadas de uma cebola, derivando de fora pra dentro, multiplicando as derivadas de cada “camada” da função.
Então, por exemplo, se temos uma , sua derivada vai valer:
Ou se tivéssemos , teríamos pra derivada o seguinte:
Passo 2
Relembrada a regra pra derivação de funções compostas, podemos trabalhar em cima das expressões e , que designam funções pares e ímpares, respectivamente.
Começando pela primeira expressão, vamos derivá-la, pela regra da cadeia e ver no que resultamos:
Sendo que também é uma função qualquer, repara que chegamos à expressão que designa a função ímpar que o enunciado deu! Fica comprovada a afirmativa (a)!
Passo 3
Agora é só fazer o mesmo pra comprovar (b). Trabalhando em cima de , derivamos e vamos ter:
Com as mesmas considerações do último Passo, repara que chegamos à expressão que designa uma função par! Mais uma alternativa comprovada!
Resposta
Vide Passos 2 e 3.