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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 77

Dado que f^' (x) = (x)/(x^2 + 1) e g (x) = sqrt(3 x - 1) , encontre F^' ( x ) se F (x) = f ( g (x) ) .

Passo 1

Sabendo pelo enunciado que F ( x ) é a composição das funções f e g , e, como queremos sua derivada, vai bastar que a gente aplique a regra da cadeia.

Como já sabemos de exercícios anteriores, pra derivar uma função composta, pela regra da cadeia, vamos derivando a função de fora pra dentro, multiplicando as derivadas que calculamos. Assim, temos:

F^' (x) = f^' ( g (x) ) * g^' ( x )

Passo 2

Pra começar, então, precisamos então de f^' ( g (x) ) . Temos a expressão pra f^' ( x ) e pra g ( x ) . Então, é só aplicar g ( x ) pra x na expressão de f ' ( x ) . Vamos ter:

f^' (g (x)) = (sqrt(3 x - 1))/((sqrt(3 x - 1))^2 + 1) =

= (sqrt(3 x - 1))/(3 x - 1 + 1) =

= (sqrt(3 x - 1))/(3 x)

Passo 3

Agora, precisamos de g^' ( x ) . Então é só derivar g ( x ) que temos no enunciado. Aqui, também aplicamos a regra da cadeia, já que g ( x ) é uma função composta. Assim, teremos:

g^' (x) = (1)/(2 sqrt(3 x - 1)) * (3 - 0)

= (3)/(2 sqrt(3 x - 1))

Passo 4

Já temos então a expressão pra F^' ( x ) , que vai ser:

F^' (x) = (sqrt(3 x - 1))/(3 x) * (3)/(2 sqrt(3 x - 1)) =

= (1)/(2 x)

Resposta

F^' (x) = (1)/(2 x)

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