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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 78

Encontre f^' ( x^2 ) se (d f ( x^2 ))/(d x) = x^2 .

Passo 1

Podemos trabalhar com a regra da cadeia e determinar f^' ( x^2 ) assim: vamos chamar de g (x) = x^2 . Como você pode ver então, temos uma composição de f e g , do tipo f ( g (x) ) , já que temos f ( x^2 ) .

A derivada pra f ( x^2 ) , (d f ( x^2 ))/(d x) = (d f ( g (x) ))/(d x) , pela regra da cadeia, se calcula assim:

(d f ( g (x) ))/(d x) = f ' ( g (x) ) * g^' ( x )

E, como definimos, isso equivale a:

(d f ( x^2 ))/(d x) = f ' ( x^2 ) * g^' ( x )

Passo 2

Queremos f ' ( x^2 ) . Temos (d f ( x^2 ))/(d x) = x^2 . Precisamos de g^' (x) , que calculamos facilmente, pois temos g (x) . Temos:

g^' (x) = 2 x

Agora só substituir o que temos na última equação do Passo 1 e conseguimos determinar f ' ( x^2 ) . Vamos ter:

Passo 3

((d f ( x^2 ))/(d x))/(g^' ( x )) = f ' ( x^2 )

(x^2)/(2 x) = f ' ( x^2 )

:. f^' (x^2) = (x)/(2)

Resposta

f^' (x^2) = (x)/(2)

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