Derive a função.

y = tg ⁡ ln ⁡ a x + b

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom.. a questão quer que a gente derive a seguinte função:

y = tg ⁡ ln ⁡ a x + b

Bom... é interessante a gente saber que a derivada da tangente é dada da seguinte forma:

tan ⁡ u ' = u ' sec 2 ⁡ u

Mas temos que derivar aquele termo dentro da tangente tamém.. e aí??

Para isso, a gente deve usar a regra da cadeia!!

Essa regrinha diz que a gente pode derivar uma função y da seguinte forma:

d y d x = d y d u · d u d x

Ou seja, podemos dividir uma função em duas e aplicar essa regrinha de derivação!!

Ah... lembre-se que a derivada do logaritmo natural é dada por:

ln ⁡ u ' = 1 u u '

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Fazendo u = ln ⁡ a x + b e então, utilizando a regra da cadeia:

d y d x = d d u t g   u · d d x ln ⁡ a x + b

Novamente aplicando a regra da cadeia em ln ⁡ a x + b para v = a x + b ...

d y d x = d d u t g   u · d d v ln ⁡ v · d d x a x + b

Pelo teorema fundamentao do calculo e pela regra da potencia, temos

d y d x = sec 2 ⁡ u · 1 v · a

Se v =   a x + b e u = ln ⁡ a x + b , vamos obter

d y d x = sec 2 ⁡ ln ⁡ a x + b · 1 a x + b · a

d y d x = a sec 2 ⁡ ln ⁡ a x + b a x + b

Entendeu direitinho?? Responde Aí!😉

Resposta

d y d x = a sec 2 ⁡ ln ⁡ a x + b a x + b

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