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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 20

Encontre f ' ( x )

f (x) = t g^4 ( x^3 )

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

(f (g (x)))^' = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f (x) = t g^4 ( x )

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g (x) = x^3

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f (x) = t g^4 (x)

Ai aqui caímos em outra regra da cadeia, vamos ficar com

(u (v (x)))^' = u^' (v (x)) * v ' ( x )

u (x) = x^4

u^' (x) = 4 x^3

u^' (v (x)) = 4 t g^3 (x)

v (x) = t g (x)

v^' (x) = sec^2 (x)

Então nossa f^' (x) fica:

f^' (x) = u^' (v (x)) * v ' ( x )

f^' (x) = 4 t g^3 (x) * s e c^2 (x)

Como g (x) = x^3 , ficamos com

f^' (g (x)) = 4 t g^3 (x^3) * s e c^2 (x^3)

Agora para g ( x )

g (x) = x^3

g^' (x) = 3 x^2

g^' (x) = 3 x^2

Passo 3

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

(f (g (x)))^' = 4 t g^3 (x^3) * sec^2 (x^3) * 3 x^2

(f (g (x)))^' = 12 x^2 sec^2 (x^3) t g^3 ( x^3 )

Resposta

(f (g (x)))^' = 12 x^2 sec^2 (x^3) t g^3 ( x^3 )

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