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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 71

Lembre que

d d x x = 1 ,   x > 0 - 1 ,   x < 0

Use esse resultado para encontrar

d d x sin ⁡ x

Para x diferente de zero no intervalo - π ,   π .

Passo 1

Veja que temos uma composição de funções! Veja

sin ⁡ x = f g x

onde f x = x e g x = sin ⁡ x . Sendo assim,

d d x sin ⁡ x = d d x f g x d d x sin ⁡ x = g ' x f ' g x

Passo 2

Note que g ' x = cos ⁡ x . Além disso,

f ' x = 1 ,   x > 0 - 1 ,   x < 0 ∴ f ' sin ⁡ x = 1 , sin ⁡ x > 0 - 1 , sin ⁡ x < 0

Lembre-se que sin ⁡ x > 0 para x ∈ 0 ,   π e sin ⁡ x < 0 para x ∈ - π ,   0 .

Passo 3

Portanto, usando os resultados anteriores,

d d x sin ⁡ x = cos ⁡ x ,   x ∈ 0 ,   π - cos ⁡ x ,   x ∈ - π , 0

Resposta

d d x sin ⁡ x = cos ⁡ x ,   x ∈ 0 ,   π - cos ⁡ x ,   x ∈ - π , 0

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