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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 12

Encontre a diferencial.

y = 1 + 2 u 1 + 3 u

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a ddiferencial da função

y = 1 + 2 u 1 + 3 u

Parece complicado?

Para calcular a diferencial de uma função y , calculamos d y d x e isolamos d y em um lado da igualdade, ou seja

d y d x = y ' → d y = y ' d x

Então precisamos derivar a função y ...

Repare que nós temos um quociente de funções, então nada mais justo do que usar a regrinha do quociente nessa derivação. Lembra dela?

A regra do quociente é dada por:

f u g u ' = f ' u ∙ g u - f u ∙ g ' ( u ) g u 2

No nosso caso, temos f u = 1 + 2 u e g u = 1 + 3 u . Então, basta a gente aplicar a fórmula no nosso quociente.

Vamos lá!

Passo 2

Aplicando a regra do quociente em y = 1 + 2 u 1 + 3 u , vamos ter:

y ' = d 1 + 2 u d u 1 + 3 u - 1 + 2 u d 1 + 3 u d u 1 + 3 u 2

y ' = 2 1 + 3 u - 3 ( 1 + 2 u ) 1 + 3 u 2

Aplicando a distributiva nos produtos, temos:

y ' = 2 + 6 u - 3 - 6 u 1 + 3 u 2

E simplificando:

y ' = - 1 1 + 3 u 2

Por fim, para determinar a diferencial, temos que

d y d x = y ' → d y = y ' d x

d y = - 1 1 + 3 u 2 d x

Prontinho, galera! Entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

d y = - 1 1 + 3 u 2 d x

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