Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 8
8) Verifique a aproximação linear dada em . A seguir, determine os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1.
Passo 1
Fala aí, pessoal. Tudo certinho com você?
Essa questão pede pra gente verificar uma aproximação linear da função:
Para
E para isso precisaremos fazer:
Ou seja, precisamos da derivada de aplicada a , e depois aplicaremos essa regrinha aí.
Além disso, devemos determinar os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1.
Passo 2
Para obter a linearização uma função , devemos utilizar a aproximação da função em :
Podemos fazer
E vamos derivar . Lembrando que essa é uma daquelas derivadas tabeladas, teremos:
Então, em é:
Como
Logo, a linearização está correta.
Passo 3
Para uma precisão de , o valor estimado, está numa faixa de do valor real, ou seja:
Substituindo as funções, teremos:
Dividindo tudo por , ficamos com:
O que nos dará:
E podemos escrever:
Usando a regra de sinais para inequações, podemos tranforma essa inequação na forma:
E prontinho.