14) Encontre a diferencial da função:

(a) y = e^(tg(πt))

(b) y = raiz(1 + ln(z))

Passo 1

Fala meus queridões!!Nessa questão queremos encontrar a diferencial das seguintes funções:

y = e t g π t

E

y = 1 + ln ⁡ z

Para isso, vamos derivar as funções e então podemos dizer que a diferencial de uma função é:

d y = f ' x d x

Para derivar as funções, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos diz que quando temos uma função dentro de outra:

y = f g x

Podemos encontrar sua derivada fazendo:

f ' x = d d g x f g x ⋅ d d x g x

(Ou seja, vamos derivando de fora para dentro...)

Passo 2

A diferencial de uma função y = f x é dada por: d y = f ' x d x .

A nossa função é:

y = e t g π t

Que é uma função y com a variável t .

f t = e t g π t

Derivando, vamos usar a regra da cadeia, onde temos:

f ' t = d d t g π t e t g π t ⋅ d d t ( t g π t

Dessa forma, temos:

f ' t = e t g π t ⋅ d d t ( t g π t

Aqui, vamos precisar de outra regra da cadeia para calcular a derivada que ficou faltando:

d d t ( t g π t = d d π t ( t g π t ⋅ d d t π t

d d t ( t g π t = sec 2 ⁡ π t ⋅ π

Substituindo na primeira regra da cadeia:

f ' t = e t g π t ⋅ d d t ( t g π t

f ' t = π e t g π t sec 2 ⁡ π t

Logo, a diferencial é:

d y d t = f ' t

d y = π e t g π t sec 2 ⁡ π t d t

Passo 3

A nossa função é:

y = 1 + ln ⁡ z

Que é uma função y com a variável z .

f z = 1 + ln ⁡ z

Derivando, vamos usar a regra da cadeia, onde temos:

f ' z = d d 1 + ln ⁡ z 1 + ln ⁡ z ⋅ d d z 1 + ln ⁡ z

Dessa forma, temos:

f ' z = 1 2 1 + ln ⁡ z ⋅ 0 + 1 z

f ' z = 1 2 z 1 + ln ⁡ z

Logo, a diferencial é:

d y = 1 2 z 1 + ln ⁡ z d z

Resposta

(a) d y = π e t g π t sec 2 ⁡ π t d t

(b)

d y = 1 2 z 1 + ln ⁡ z d z

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