Derive a função:

f(x) = A / (B + C * e^x)

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Nessa questão foi nos dado que

f x = A B + C e x  

E teremos que determinar sua derivada. Show?

Cara, para fazer isso, o primeiro passo é entender que tipo de função temos ali para então saber qual é a regra de derivação que devemos usar.

Então repara no seguinte. Essa função é fracionária. Para casos assim podemos entender que ela é formada por uma divisão entre duas funções diferentes. Chamaremos de:

g x = A

E

h x = B + C e x

Ou seja:

f x = A B + C e x = g x h x

Quando temos uma função desse tipo para derivar podemos usar a regra do quociente. Assim a derivada será calculada fazendo:

f ' = g ' h - g h ' h 2

Sabendo a carinha da função a regra que é mais adequada que ela, basta cair pra dentro da derivação, simplesmente substituindo tudo nessa fórmula aí. Vem que te mostro como será isso.

Passo 2

Para usar a Regra da Derivada do Quociente precisaremos das funções g x e h ( x ) e de suas derivadas. Vamos então, calcular essas derivadas antes de tudo.

Veja que:

g x = A

E como a derivada de uma constante é igual a zero, teremos:

g ' x = 0

E, como

h x =   B + C e x

Sendo B e C constantes, a derivada terá duas partes. Sendo

h ' x = B ' + C e x '

Assim, fazendo cada parte, ficamos com:

h ' x = 0 + C e x

Show. Agora que temos tudo que precisávamos, basta substituir na regra de derivação.

Passo 3

Lembrado que

f x = A B + C e x = g x h x

f ' = g ' h - g h ' h 2

Como:

g x = A

g ' x = 0

h x =   B + C e x

h ' x = C e x

Substituindo, teremos:

y ' = 0 B + C e x - A C e x B + C e x 2

O que nos dará:

y ' = - A C e x B + C e x 2

E prontinho. Derivada calculada.

Resposta

f ' x = - A C e x ( B + C e x ) ²

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