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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.3 - Ex. 12

Calcule o limite, se existir.

12 .           lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4

Para isso, podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 2 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4 = - 4 2 + 5 - 4 + 4 - 4 2 + 3 - 4 - 4 = 0 0

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, vamos analisar um pouco e descobrir, calma que vai dar c2rto!

Passo 2

Vamos ter que fatorar o numerador e o denominador para eliminar a indeterminação.

As raízes de x 2 + 5 x + 4 são

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 5 ± 25 - 16 2 = - 5 ± 3 2 ∴

      x = - 1   ,     x = - 4

Dessa forma, a fatoração de x 2 + 5 x + 4 é ( x + 1 ) ( x + 4 ) .

As raízes de x 2 + 3 x - 4 são

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 3 ± 9 + 16 2 = - 3 ± 5 2 ∴

    x = 1   ,     x = - 4

Dessa forma, a fatoração de x 2 + 3 x - 4 é ( x - 1 ) ( x + 4 ) .

Passo 3

Utilizando a fatoração acima, temos:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4 ∴

= l i m x → - 4 x + 1 x + 4 x - 1 x + 4 ∴

= l i m x → - 4 x + 1 x - 1 ∴

= - 4 + 1 - 4 - 1 ∴

= - 3 - 5 ∴

= 3 5

Logo, temos que

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4 = 3 5

Resposta

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4 = 3 5

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