Derive a função.

f(x) = log_10(x^3 + 1)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. a questão quer que derivemos a seguinte função:

f x = d d x log 10 ⁡ ( x 3 + 1 )

Para isso, devemos aplicar a regra da cadeia!!

Essa regrinha diz que a gente pode derivar uma função y da seguinte forma:

d y d x = d y d u * d u d x

Ou seja, podemos dividir uma função em duas e aplicar essa regrinha de derivação!!

Ah, mas antes de derivar, devemos saber da seguinte propriedade dos logaritmos:

log a ⁡ b = ln ⁡ b ln ⁡ a

Agora sim!! Vamos lá?? 😉

Passo 2

Derivando a função f x = log 10 ⁡ ( x 3 + 1 ) , vamos fazer:

f ' x = d d x l n ⁡ 1 + x 3 l n ⁡ 10

Retirando a constante, temos:

f ' x = 1 ln ⁡ 10 *   d d x ln ⁡ 1 + x 3

Agora vamos utilizar a regra da cadeia para calcular aquela derivada ali que nos restou!!

Passo 3

E agora, utilizando a regra da cadeia fazendo u = 1 + x 3 , temos:

d d x ln ⁡ 1 + x 3 = d d u ln ⁡ u * d d x 1 + x 3 ∴

d d x ln ⁡ 1 + x 3 = 1 u * 3 x 2

Substituindo u :

d d x ln ⁡ 1 + x 3 = 3 x 2 1 + x 3

Assim, substituindo no Passo 2, temos:

f ' x = 3 x 2 x 3 + 1 ln ⁡ 10

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

f ' x = 3 x 2 x 3 + 1 ln ⁡ 10

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