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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 90

Determine o valor de d r // d t em t = 0 , se r = (theta^2 + 7)^((1)/(3)) e theta^2 t + theta = 1

Passo 1

Podemos derivar r em relação a t na primeira expressão, porém surgirá d theta // d t que obteremos derivando implicitamente a segunda expressão.

Passo 2

Derivando a primeira expressão:

(d r)/(d t) = (1)/(3) (theta^2 + 7)^(- (2)/(3)) 2 theta (d theta)/(d t)

Derivando a segunda expressão, temos:

2 theta (d theta)/(d t) t + theta^2 + (d theta)/(d t) = 1

(d theta)/(d t) (2 theta t + 1) = 1 - theta^2

(d theta)/(d t) = (1 - theta^2)/(2 theta t + 1)

Passo 3

Resta agora achar os valores de theta e (d theta)/(d t) quando t = 0 para substituir na expressão que nos dá (d r)/(d t) :

theta^2 t + theta = 1

theta^2 . 0 + theta = 1

theta = 1

(d theta)/(d t) = (1 - theta^2)/(2 theta t + 1)

(d theta)/(d t) = (1 - 1)/(( 2.1 . 0 + 1 ))

(d theta)/(d t) = 0

Resta apenas substituir esses valores em (d r)/(d t) = (1)/(3) (theta^2 + 7)^(- (2)/(3)) 2 theta (d theta)/(d t)

Resposta

(d r)/(d t) = 0

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