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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 92

Se x^((1)/(3)) + y^((1)/(3)) = 4 , determine d^2 y // d x^2 no ponto ( 8 , 8 ) .

Passo 1

Podemos resolver derivando de forma implícita ou isolando o y , iremos resolver isolando o y (para entender como resolve derivando implicitamente ver questão 91).

Passo 2

Para isolar o y passamos o x^((1)/(3)) para o outro lado da equação e podemos elevar os dois lados da equação a 3, que é algo que não muda o resultado, fazendo essa operação, temos:

y = (4 - x^((1)/(3)))^3

Derivando a expressão, temos:

(d y)/(d x) = 3 (4 - x^((1)/(3)))^2 - (1)/(3) x^(- (2)/(3))

Simplificando a expressão, temos:

(d y)/(d x) = - ( 4 x^(- (1)/(3)) - 1 ) ²

Passo 3

Derivando a expressão do passo anterior, temos:

(d ² y)/(d x ²) = - 2 (4 x^(- (1)/(3)) - 1) . - (1)/(3) . 4 x^(- (4)/(3))

(d ² y)/(d x ²) = (8)/(3) x^(- (4)/(3)) (4 x^(- (1)/(3)) - 1)

Resta apenas substituir o valor de x dado que obteremos a resposta.

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = (7)/(6)

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