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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 22

3 – 26 Derive.

22. V t = 4 + t t e t

Passo 1

Beleza, meu brother. A questão é direta e reta, deveremos derivar:

V t = 4 + t t e t

Precisamos usar a regra do quociente para derivarmos essa função:

u v ' = u ' v - v ' u v 2

No nosso caso o u vale:

u = 4 + t

E o v vale:

v = t e t

Passo 2

Aplicando na nossa equação:

V ' t = d d t 4 + t ⋅ t e t - d d t t e t ⋅ 4 + t t e t 2

Derivando o primeiro termo no numerador:

V ' t = 1 ⋅ t e t - d d t t e t ⋅ 4 + t t 2 e 2 t

Para resolver aquela derivada que faltou devemos usar a regra do produto, pois temos que derivar um produto entre funções:

u v ' = u ' v + v ' u

Aplicando isso na derivada, obtemos:

V ' t = t e t - d d t t ⋅ e t + d d t e t ⋅ t ⋅ 4 + t t 2 e 2 t

Realizando as derivadas do numerador:

V ' t = t e t - 1 ⋅ e t + e t ⋅ t ⋅ 4 + t t 2 e 2 t

Organizando:

V ' t = t e t - e t + t e t ⋅ 4 + t t 2 e 2 t

Colocando e t em evidência:

V ' t = e t t - 1 + t ⋅ 4 + t t 2 e 2 t

Realizando os produtos:

V ' t = e t t - 4 + t + 4 t + t 2 t 2 e 2 t

Simplificando os termos semelhantes:

V ' t = e t - 4 - 4 t - t 2 t 2 e 2 t

Cortando os e t

V ' t = - 4 - 4 t - t 2 t 2 e t

Resposta

V ' t = - 4 - 4 t - t 2 t 2 e t

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