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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 27

Encontre f ' x e f ' ' x .

f x = x 3 + 1 e x

Passo 1

E aí, gelerinha!

Nesse problema foi dada a função

f x = x 3 + 1 e x

E temos que calcualr a priemira e a segunda derivada.

Tem ideia de como fazemos isso?

Quando analisamos a função f podemos perceber que se trata de um produto de duas funções. Assim, para calcular as derivadas de f podemos aplicar a regra do produto

A regra do produto é dada por

f x = g x · h x ,     f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Bora lá!

Passo 2

No nosso caso temos que se f x = g x · h x , temos que g x = x 3 + 1 e h x = e x

Aplicando a regra do produto na nossa equação:

f ' x = d d x x 3 + 1 ⋅ e x + x 3 + 1 · d d x e x

Pela regra da potencia e pelo teorema fundamental do calculo, temos que

f ' x = 3 x 2 ⋅ e x + e x ⋅ x 3 + 1

Isolando e x :

f ' x = x 3 + 3 x 2 + 1 ⋅ e x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos derivar pela segunda vez:

f ' ' x = d d x x 3 + 3 x 2 + 1 ⋅ e x

Mais uma vez devemos usar a regra do produto, mas agora g x = x 3 + 3 x 2 + 1 ...

f ' ' x = d d x x 3 + 3 x 2 + 1 ⋅ e x + d d x e x ⋅ x 3 + 3 x 2 + 1

f ' ' x = 3 x 2 + 6 x ⋅ e x + e x ⋅ x 3 + 3 x 2 + 1

Isolando e x :

f ' ' x = 3 x 2 + 6 x + x 3 + 3 x 2 + 1 ⋅ e x

f ' ' x = x 3 + 6 x 2 + 6 x + 1 ⋅ e x

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

f ' x = x 3 + 3 x 2 + 1 ⋅ e x

f ' ' x = x 3 + 6 x 2 + 6 x + 1 ⋅ e x

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