Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 1c
Descreva o domínio das seguintes funções:
Passo 1
E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D
Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de domínio.
Basicamente, para uma função , o seu domínio é o conjunto de todos os valores de e , ou melhor, é o conjunto de todos os pontos que dão um resultado válido para a função e nos quais ela está definida.
Portanto, a ideia que precisamos ter é a seguinte: observando a forma da função , vamos verificar os valores de e que poderiam tornar a função dada inválida, ou seja, que dariam um resultado inexistente a ela.
Passo 2
Então, para o nosso presente caso, temos uma função logarítmica natural. Uma informação a ser lembrada é o fato de que não existe um resultado real para logaritmos de um valor negativo. Isso nos diz que o logaritmando precisa ser maior que zero para ser estritamente positivo e diferente de zero.
Com isso, nosso logaritmo nos dá a seguinte inequação:
Além disso, a função tem uma raiz quadrada. Precisamos lembrar que o radicando (valor dentro da raiz) precisa ser positivo e maior ou igual a zero, pois não existe um resultado real para a raiz quadrada de um número negativo (parecido com a função logarítmica, não é?).
Escrevendo essas informações matematicamente:
Mas não podemos esquecer do fato de que a raiz está no denominador e, por isso, não pode ser nula!! Isso restringe ainda mais os valores permitidos das variáveis fazendo com que o resultado do radicando não possa ser zero.
Dessa forma, acrescentando essa última informação para a inequação, obtemos:
Passo 3
Como a primeira inequação possui apenas duas variáveis, vamos deixá-la com uma variável dependendo da outra. Logo, isolando :
Já na segunda diferença, podemos perceber que ela é bem parecida com a equação de uma superfície conhecida. Então, se deixarmos a constante isolada:
E lembrando que a equação de um círculo de raio é dada por:
Temos que os valores dos pontos precisam ser tais que estejam contidos dentro da esfera de raio .
Portanto, podemos dizer que o domínio da função, ou seja, todos os valores de e que dão um resultado real a ela precisam atender a essas duas inequações.
Em termos matemáticos, o domínio é dado por: