Descreve o movimento de uma partícula com posição (x, y) ) quando t varia no intervalo dado.

x = cos^2(t), y = cos(t), 0 ≤ t ≤ 4π

Passo 1

Para descrever o movimento de uma partícula com posição ( x , y ) em função do parâmetro t no intervalo 0 ≤ t ≤ 4 π , onde x = c o s 2   t e y = cos ⁡ t , podemos analisar como x e 𝑦 variam com t .

Relação entre 𝑥 e y:

A partir das equações dadas:

x = c o s ² t  

y = c o s t

Podemos manipular a primeira equação para isolar t . Sabemos que c o s ² t = x , Portanto:

cos ⁡ t = ± x

Para determinar o sinal ( +   o u   - ), consideramos o intervalo 0 ≤ t ≤ 4 π . Sendo assim cos ⁡ t será sempre positivo neste intervalo. Sendo assim,

cos ⁡ t = x

Passo 2

Para a segunda equação substituímos cos ⁡ t em y :

y = x

A equação y = x ​ representa uma curva no plano cartesiano. É uma curva semelhante à metade superior de uma parábola aberta para cima, onde y é a raiz quadrada de x .

Passo 3

Que tal analisarmos o intervalo para construirmos o gráfico? Se liga!

Como t varia de 0 a 4 π , a partícula percorrerá a curva y = x ​ no intervalo em que x varia de 0 a 1 (pois c o s ²   t varia de 0 a 1 quando 0 ≤ t ≤ 4 π ).

Com isso, entendemos que ao longo do intervalo 0 ≤ t ≤ 4 π , a partícula descreve a curva representada a seguir pela equação y = x ​ ​ no plano cartesiano.

Resposta

x = y 2

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