Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 7
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dada por dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) primeiro eliminando o parâmetro.
Passo 1
Olá, meu brother. Vamos resolver essa atividade aqui.
O exercício quer que você encontre a equação da reta tangente à curva parametrizada dada:
No ponto:
Devemos fazer isso de duas formas diferentes.
Na primeira usamos a curva na forma parametrizada, utilizando a equação da reta tangente na forma de:
Em que é a inclinação da reta tangente no ponto . Como não temos o valor de para o ponto:
Precisaremos descobrir isso. Deveremos igualar a parametrização e o ponto, e resolver o sistema para encontrar o .
A inclinação da tangente será dada pela derivada da curva:
Assim, teremos que realizar derivações aqui.
Em relação a letra b) iremos precisar retirar a parametrização, para isso iremos isolar em uma equação e substituir em outra. Após isso, iremos utilizar a seguinte equação para a reta tangente:
O ponto já temos, é o ponto de tangencia que nos foi dado, e é a inclinação da reta tangente, iremos encontrar realizando a derivada:
No ponto .
Passo 2
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Iniciando nossos cálculos com a inclinação da reta tangente parametrizada:
Então nossa inclinação é:
Agora iremos descobrir quem é o nosso para que possamos substituir na equação:
Substituindo :
Vamos atras então de e :
Substituindo na equação:
Passo 3
O exercício também pede para encontrarmos a inclinação da tangente eliminando o parâmetro. Para isso, isolamos na equação de :
E substituímos na equação de :
Assim,
Trocando :
Sabemos que a equação da reta tangente é
Assim, para e :
Logo,