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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 6

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.

x = cos ⁡ θ + s e n   2 θ ,               y = s e n   θ + cos ⁡ 2 θ ,             θ = 0

Passo 1

Fala ai pessoal! De boa?

O objetivo desta questão é encontrar a equação da reta tangente a uma curva parametrizada x = cos ⁡ θ + s e n   2 θ ,   y = s e n   θ + cos ⁡ 2 θ , quando θ = 0 .

Para encontrar a reta tangente à curva parametrizada devemos seguir os seguintes passos:

  1. Determinar as coordenadas do ponto na curva correspondente ao valor de t . Temos que substituir t = - 1 nas equações paramétricas para encontrar as coordendas ( x , y ) .
  2. Calcular as derivadas paramétricas d x d t e d y d t .
  3. Avaliar as derivadas no ponto t = - 1 .
  4. Encontrar a inclinação da tangente m = d y d x no ponto θ = 0 .
  5. Determinar as equações da reta tangente

y - y 0 = m x - x 0

Onde m é a inclinação da reta e ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do pornô na curva.

É isso! Vamos começar a resolver galerinha!

Passo 2

O exercício quer que você encontre a equação da reta tangente à curva parametrizada dada. Para isso, precisamos achar o ponto ( x 0 , y 0 ) de tangência e a inclinação da reta, dada pela derivada da curva nesse ponto!

Para achar x 0 e y 0 , basta trocar θ = 0 nas equações:

x 0 = 1 + 0 = 1

y 0 = 0 + 1 = 1

Passo 3

Para achar a inclinação, temos primeiro que derivar a curva:

Para d x

d x = d x d t = d d t cos ⁡ θ + s e n   2 θ

d x = d x d t = d d t cos ⁡ θ + d d t s e n   2 θ

d x = - s e n   θ + d d t ( s e n   2 θ )

A segunda parte da derivada teremos que resolver através da Regra da Cadeia.

d x = - s e n   θ + 2 cos ⁡ 2 θ

Para d y

d y d t = d d t s e n   θ + cos ⁡ 2 θ

O segundo termos pela Regra da Cadeia, será:

d y = cos ⁡ θ - 2 s e n   2 θ

Passo 4

O coeficiente angular ( m ) será:

m = d y d x

m = d y d θ d x d θ

Substituido os termos

m = cos ⁡ θ - 2   s e n   2 θ - s e n   θ + 2 cos ⁡ 2 θ

Substituindo θ = 0 , achamos o coeficiente angular da reta tangente:

m = cos ⁡ 0 - 2   s e n   0 - s e n   0 + 2 cos ⁡ 0

m = 1 - 0 0 + 2

m = 1 2

Passo 5

Sabemos que a equação da reta tangente é

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Substituindo os termos

m = 1 2 y 0 = 1 x 0 = 1

Temos

y - 1 = 1 2   ( x - 1 )

Logo,

2 y - 2 = x - 1

Portanto,

x - 2 y + 1 = 0

Resposta

x - 2 y + 1 = 0

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