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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 52

Determine a equação do plano tangente ao hiperboloide x 2 / a 2 + y 2 / b 2 - z 2 / c 2 = 1 em ( x 0 , y 0 , z 0 ) e expresse-a de forma semelhante à do Exercício 51.

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de plano tangente com derivadas parciais, vamos lá!

A questão nos dá uma função do tipo F x , y , z = k

x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Isto é, k = 1 e F x , y , z

F x , y , z = x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2

Em seguida ela pede para encontrarmos a equação do plano tangente em ( x 0 , y 0 , z 0 ) e que expressemos ela no formato

x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = 1

Mas como fazemos isso?

Podemos determinar a equação do plano tangente de uma função do tipo F x , y , z = k em ( x 0 , y 0 , z 0 ) pela seguinte fórmula

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

Dessa forma, só o que precisamos para modelar essa fórmula é encontrar as derivadas parciais F x , F y e F z !

Depois que tivermos a equação completinha vamos colocar ela no modelo proposto!

Passo 2

Relembrando: Para encontrar as derivadas parciais nós vamos tratar as variáveis que não estão envolvidas na derivação como constantes!

Dessa forma, derivando a nossa função implícita, temos

∂ F ∂ x = ∂ ∂ x x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 - 1

F x = 2 x a 2

∂ F ∂ y = ∂ ∂ y x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 - 1

F y = 2 y b 2

∂ F ∂ z = ∂ ∂ z x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 - 1

F z = - 2 z c 2

Substituindo na equação do plano

2 x 0 a 2 x - x 0 + 2 y 0 b 2 y - y 0 - 2 z 0 c 2 z - z 0 = 0

Podemos dividir por 2 para simplificar

x 0 a 2 x - x 0 + y 0 b 2 y - y 0 - z 0 c 2 z - z 0 = 0

Passo 3

Distribuindo as multiplicações

x x 0 a 2 - x 0 2 a 2 + y y 0 b 2 - y 0 2 b 2 - z z 0 c 2 + z 0 2 c 2 = 0

Temos finalmente a equação do plano tangente

x x 0 a 2 + y y 0 b 2 - z z 0 c 2 = x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 - z 0 2 c 2

Mas veja que do lado direito temos F x 0 , y 0 , z 0 e nós sabemos que F é igual a 1 para qualquer valor de ( x ,   y ,   z ) , então podemos simplificar essa equação da seguinte forma

x x 0 a 2 + y y 0 b 2 - z z 0 c 2 = 1

Que é exatamente o formato proposto para a equação!

Resposta

x x 0 a 2 + y y 0 b 2 - z z 0 c 2 = 1

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