Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∫ R ∫ f x , y d A   como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .

3.

Passo 1

Fala ai, vamos entender o que a questão está pedindo, beleza???

Ele quer que a gente monte a integral, porém ele não nos fornece os intervalos e nem a função.

∫ R ∫ f x , y d A

Porém a ideia dessa questão é que a gente seja capaz de fazer isso a partir de uma região, no caso no exercício, o triângulo .

Assim a primeira coisa que vamos fazer é escolher qual tipo de coordenada vamos usar, ok?

Por ser uma figura formada por linhas retas então é melhor utilizarmos coordenadas cartesianas. E podemos utilizar a integral por linhas verticais (tipo 1)

∫ R ∫ f x , y d A = ∫ b a   ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) f x , y d y d x

Então vamos precisar encontrar o domínio , ou seja :

a ≤ x ≤   b  

g 1 ( x ) ≤ y ≤   g 2 ( x )  

Vamos nessa!!!!!!

Passo 2

Para a gente descobrir os limites temos que nos fazer a seguinte pergunta.

Qual maior e o menor valor que o x   pode adotar?

Vamos olhar a figura:

Podemos ver que o maior valor de x será o 2 porém como vamos descobrir o menor valor se ele não deu esse ponto ????

Ahhh, aqui vai o bizu.

Podemos ver que temos uma reta do tipo y = x , porque um dos pontos pertencentes será ( 2,2 ) , mas com essa informação ainda não podemos descobrir o menor valor para x .

Porém se desenharmos uma reta anti simétrica y = -   x , poderemos descobrir o ponto ( x , 2 ) . Saca só:

Para descobrir quem vai ser o ponto ( x , 2 ) , vamos substituir na fórmula :

y = -   x

2 = -   x

x = -   2

Oba, então descobrimos que o menor valor de   x será - 2 e o maior será 2 . Então seus limites serão

- 2 ≤ x ≤ 2  

Passo 3

Agora que sabemos o intervalo de x vamos definir os intervalos de y .

A gente sabe que o y varia de acordo com o x , lembra??

y = x

então qualquer valor de que a gente coloque no x vai fazer o y variar. Mas a gente também sabe que essa reta acaba no ponto ( 2,2 ) , logo o maior valor que o y terá , será y = 2 .

Dessa forma:

x ≤ y ≤ 2  

Passo 4

Agora sabendo dos limites de integração podemos montar a nossa integral:

∫ b a   ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) f x , y d y d x

onde :

- 2 ≤ x ≤ 2  

x ≤ y ≤ 2  

substituindo :

∫ - 2 2 ∫ x 2 f x , y d y d x

Resposta

Coordenadas cartesianas.

∫ - 2 2 ∫ x 2 f x , y d y d x

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