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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.4 - Ex. 9

Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado. (Utilize um sistema de computação algébrica tanto para calcular as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu plano tangente.) Em seguida, dê zoom até que a superfície e o plano tangente perto do ponto se tornem indistinguíveis.

f x , y = x y sen ⁡ x - y 1 + x 2 + y 2 ,               1,1 , 0

Passo 1

Show de bola, galera. Antes de sairmos plotando os gráficos, precisamos calcular primeiro a equação do plano tangente no dado ponto.

Primeiro precisaremos calcular as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y no ponto 1 , 1,0 :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x y sen ⁡ x - y 1 + x 2 + y 2 = y x 1 + x 2 + y 2 cos ⁡ x - y + 1 - x 2 + y 2 sen ⁡ x - y 1 + x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x →       N o   p o n t o   1,1 , 0     ∂ f ∂ x 1,1 , 0 = 1 3

…

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x y sen ⁡ x - y 1 + x 2 + y 2 = - x y 1 + x 2 + y 2 cos ⁡ x - y + - 1 - x 2 + y 2 sen ⁡ x - y 1 + x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y →       N o   p o n t o   ( 1 , 1 , 0 )       ∂ f ∂ y 1,1 , 0 = - 1 3

Desta forma, temos a seguinte equação para o plano tangente:

z - 0 ⏟ z 0 = 1 / 3 ⏟ ∂ f ∂ x ∙ x - 1 ⏟ x 0 - 1 / 3 ⏟ ∂ f ∂ y ∙ y - 1 ⏟ y 0 ∴ z = x 3 - y 3

Passo 2

Seguindo a lógica do enunciado, chegamos nos seguintes gráficos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que as pirâmides cortadas do primeiro octante por qualquer plano tangente à superfície x y z = 1 em pontos do primeiro octante têm todas o mesmo volume.
Existem pontos no hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y ?