Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 23b
- Mostre que um polinômio de grau tem no máximo raízes reais.
Passo 1
Agora vamos pra a letra (b), na letra (a) mostramos que um polinômio de grau deve ter no máximo raizes reais e a ideia agora é generalizar! Vamos mostrar que um polinômio de grau tem no máximo raízes reais!
Para isso vamos pegar um polinômio de grau e supor que ele tem mais que raízes reais:
Assim:
Vamos dizer que:
Passo 2
Se a nossa função é um polinômio ela irá obedecer o Teorema de Rolle, uma vez que ela será contínua e diferenciável, então existem números , , de modo que:
E:
Sendo a derivada de , então ele deverá ser um polinômio de. Mas terminamos de dizer que tem raizes, o que é impossível!
Então podemos concluir que um polinômio de grau tem no máximo raízes reais!
Resposta
Desenvolvimento acima.
Exercícios de Livros Relacionados
Use o método do exercício 33 e a indução matemática para provar que um polinômio de grau n tem no máximo n raízes reais.
Seja f : R → R uma função. Dizemos que x 0 é um ponto fixo de f se f x 0 = x 0 , com f x = x 2 - 3 x .Mostre que f terá ponto fixo se o gráfico de f interceptar a reta y = x .
O inverso do teorema de Rolle não é válido. Dê um exemplo de uma função para a qual a conclusão do teorema de Rolle é verdadeira e para a qual (a) a condição (i) não está satisfeita, mas as condições
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle. f x = 5 - 12 x + 3 x 2 ,[ 1,
Use o gráfico de f para estimar os valores de c que satisfaçam à conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo [0, 8].