1. Mostre que um polinômio de grau n tem no máximo n raízes reais.

Passo 1

Agora vamos pra a letra (b), na letra (a) mostramos que um polinômio de grau 3 deve ter no máximo 3 raizes reais e a ideia agora é generalizar! Vamos mostrar que um polinômio de grau n tem no máximo n raízes reais!

Para isso vamos pegar um polinômio P ( x ) de grau n + 1 e supor que ele tem mais que n + 1 raízes reais:

r 1 , r 2 , r 3 … r n + 1 ,   r n + 2 1

Assim:

P r 1 = P r 2 = P r 3 = P r n + 1 = P r n + 2 = 0

Vamos dizer que:

r 1 < r 2 < r 3 < … < r n + 1 < r n + 2

Passo 2

Se a nossa função é um polinômio ela irá obedecer o Teorema de Rolle, uma vez que ela será contínua e diferenciável, então existem n + 1 números c 1 , c 2 , c 3 ,   … , c n + 1 de modo que:

r 1 < c 1 < r 2

r 2 < c 2 < r 3

r 3 < c 3 < r 4

r n < c n < r n + 1

r n + 1 < c n + 1 < r n + 2

E:

P ' c 1 = P ' c 2 = P ' c 3 = P ' c n + 1 = P ' c n + 2 = 0

Sendo P ' a derivada de P , então ele deverá ser um polinômio de   n + 1   . Mas terminamos de dizer que P ' ( x ) tem n + 2 raizes, o que é impossível!

Então podemos concluir que um polinômio de grau n + 1   tem no máximo n + 1 raízes reais!

Resposta

Desenvolvimento acima.

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