- Mostre que um polinômio de grau tem no máximo raízes reais.
Passo 1
Agora vamos pra a letra (b), na letra (a) mostramos que um polinômio de grau deve ter no máximo raizes reais e a ideia agora é generalizar! Vamos mostrar que um polinômio de grau tem no máximo raízes reais!
Para isso vamos pegar um polinômio de grau e supor que ele tem mais que raízes reais:
Assim:
Vamos dizer que:
Passo 2
Se a nossa função é um polinômio ela irá obedecer o Teorema de Rolle, uma vez que ela será contínua e diferenciável, então existem números , , de modo que:
E:
Sendo a derivada de , então ele deverá ser um polinômio de. Mas terminamos de dizer que tem raizes, o que é impossível!
Então podemos concluir que um polinômio de grau tem no máximo raízes reais!
Resposta
Desenvolvimento acima.