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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.6 - Ex. 26

A órbita de Júpiter tem excentricidade 0,0 48 e o comprimento do seu eixo maior é 1,56   .   10 9   k m . Encontre uma equação polar para a órbita.

Passo 1

Beleza, galera? Aqui a gente tem que encontrar uma equação polar pra órbita de Júpiter. Poderíamos, usar, por exemplo:

r = e d 1 + e cos ⁡ θ

Mas aí tem um problema, não sabemos o valor de d . Precisamos descobrir quem é d a partir dos dados que o enunciado nos deu: a excentricidade e e o eixo maior 2 a , beleza?

Passo 2

Lembra dessa fórmula?

a 2 = e 2 d 2 1 - e 2 2

Podemos usá-la pra obter o valor de d , olha só:

a 2 1 - e 2 2 = e 2 d 2

d 2 = a 2 1 - e 2 2 e 2

d = a 1 - e 2 e

d = 2 a 1 - e 2 2 e

Passo 3

Agora que obtemos d em função apenas de e e 2 a , podemos jogar isso na equação:

r = e d 1 + e cos ⁡ θ

r = e 1 + e cos ⁡ θ 2 a 1 - e 2 2 e

r = 2 a 1 - e 2 2 ( 1 + e cos ⁡ θ )

Beleza! Agora é só substituir e = 0,0 48 e 2 a = 1,56   .   10 9 :

r = 1,56   .   10 9   1 - 0,0 48 2 2 ( 1 + 0,0 48 cos ⁡ θ )

r = 7,78   .   10 8 1 + 0,0 48 cos ⁡ θ

Feshow?

Resposta

r = 7,78   .   10 8 1 + 0,048 cos ⁡ θ

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