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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 70

Desenhe o sólido limitado pelo plano x + y + z = 1 e pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 e determine seu volume exato. (Utilize seu SCA para fazer esse desenho, para achar as equações dos limites da região de integração e para calcular a integral dupla).

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O primeiro passo é construir o sólido em questão para analisar os limites de integração:

Passo 2

A partir da figura, podemos observar que para a dada região z vai do plano ao fim do paraboloide. Portanto:

1 - x - y ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 2

Com um programa podemos ver os pontos de intersecção de x e y portanto, temos:

R = x , y | 1 2 1 - 14 < x < 1 2 1 + 14 , 1 2 - 1 2 13 + 4 x - 4 x 2 < y < 1 2 + 1 2 13 + 4 x - 4 x 2

Bom... nossa integral ficar com essa cara:

∫ 1 2 1 - 14 1 2 1 + 14 ∫ 1 2 - 1 2 13 + 4 x - 4 x 2 1 2 + 1 2 13 + 4 x - 4 x 2 4 - x 2 - y 2 - ( 1 - x - y ) d y d x

Passo 3

Agora é só usar a calculadora gráfica ou algum programa pra resolver essa integral. Temos que:

V = 105 8 π

Resposta

V = 105 8 π

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