1. Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.
  2. Encontre r'(t) .
  3. Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r'(t) para o valor dado de t .

r(t) = e^(2t) * i^ + e^(t) * j^

Passo 1

Fala ai pessoal! Belezinha? Vamos resolver a Letra C, a questão nos para apresentarmos o esboço do vetor posição

r t = e 2 t i ^ + e t j ^

E o vetor tangente quando t = 0 .

Para encontrarmos o vetor tangente teremos que dderivar o vetor posição, e substituir t = 0 . E não vamos esquecer de plotar um gráfico do vetor posição e analisar!

Bora!!!

Passo 2

Para calcular o vetor tangente r ' ( t ) (ou a derivada da função r ( t ) ), derivamos cada componente da função r ( t ) em relação a t :

Galera, a curva é dada pela seguinte equação:

r t = e 2 t i ^ + e t j ^

E a derivada da curva é:

r ' t = 2 e 2 t i ^ + e t j ^

Passo 3

O vetor posição em t = 0 é:

r 0 = e 2 × 0 i ^ + e 0 j ^

r 0 = i ^ + j ^

O vetor tangente em t = 0 da derivada

r ' 0 = 2 e 2 × 0 i ^ + e 0 j ^

r ' 0 = 2 i ^ + j ^

Passo 4

Como saber a curva formada?

Componente x ( t ) = e 2 t : Esta componente representa a coordenada x da curva em função do parâmetro t . Observando a forma e 2 t , sabemos que x ( t ) cresce exponencialmente à medida que t aumenta. Quando t = 0 , x ( 0 ) =   e 0 = 1 , e à medida que t aumenta, x ( t ) cresce rapidamente.

Componente y ( t ) = e t : Esta componente representa a coordenada y da curva em função do parâmetro t . Observarmos as quesçãoes, sabemos que y ( t ) também cresce exponencialmente à medida que t aumenta. Quando t = 0 , y ( 0 ) = e t = 1 , e à medida que t aumenta, y ( t ) cresce.

Passo 5

A combinação das componentes x ( t ) e y ( t ) descreve uma curva que se afasta rapidamente do ponto inicial ( 1,1 ) à medida que t aumenta. A forma exata da curva pode ser entendida como uma trajetória que se afasta exponencialmente do ponto inicial ao longo do tempo.

Esboçando o gráfico com os vetores posição e tangente, temos:

No gráfico acima, o vetor preto é o vetor posição e o vetor vermelho é o vetor tangente.

Resposta

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