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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 15

O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação de movimento

s = 1 / t 2

Onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade da partícula nos instantes t = a ,   t = 1 ,   t = 2   e   t = 3   .

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😊

Vamos resolver esse problema! O enunciado da a fórmula do deslocamento de uma partícula em relação ao tempo

s = 1 t 2

E pede pra a gente encontrar a velocidade nos tempos:

t = a ,     t = 1 ,     t = 2 ,     t = 3

A velocidade de uma partícula é dada pela inclinação da reta tangente à curva que define a equação de movimento, ou seja, para encontrarmos a velocidade, necessitamos calcular a inclinação m da curva em um ponto. Calculando m pela equação:

m = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Pra resolver esse problema vamos, primeiro achar a inclinação m e depois substituir em:

y - y 0 = m x - x 0

Pra t = a vamos chegar em uma expressão geral, pros próximos é só substituímos os valores!

Veja só! 😊

Passo 2

Temos que:

f a = 1 t 2 ,     f a + h = 1 a + h 2

Substituindo:

lim h → 0 ⁡ 1 a + h 2 - 1 a 2 h

Agora a gente tem que manipular a equação até a gente poder substituir h = 0 e não zerar o expoente:

v = lim h → 0 ⁡ a 2 - a + h 2 h a 2 a + h 2

v = lim h → 0 ⁡ a 2 - a 2 - 2 a h - h 2 h a 2 a + h 2

v = lim h → 0 ⁡ h - 2 a - h h a 2 ⋅ a + h 2

v = lim h → 0 ⁡ - 2 a - h a 2 ⋅ a + h 2

Aplicando o limite...

v = - 2 a a 2 ⋅ a 2

v = - 2 a 3 m s

v = - 2 a 3 m / s

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Agora, basta substituir o termo a encontrado na expressão anterior pelos valores de t que foram dados. Logo

  1. Para t = 1 ,

    2. v = - 2 1 3 = - 2 m / s

  2. Para t = 2 ,

    3. v = - 2 2 3 = - 1 4 = - 0,25 m / s

  3. Para t = 3

v = - 2 3 3 = - 2 27 = - 0,07 m / s

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

v a = - 2 a 3 m / s

v 1 = - 2 m / s

v 2 = - 0,25 m / s

v 3 = - 0,07 m / s

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43. b) Achelim h → 0 ⁡ s e n π 3 + h - s e n π 3 h , Interpretando-o como uma derivada.
43. a) Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais, valores de s e n π 3 + h - s e n π 3 h Quando hé1 ;0,5 ;0,1 ;0,01 ;0,001 ;ehé- 1 ;- 0,5 ;- 0,1 ;- 0,01 ;- 0,001 é é . A que o quocien
44. b) Ache lim h → 0 ⁡ c o s 5 π 6 + h - c o s 5 π 6 h , Interpretando-o como uma derivada.
46. b) Ache lim h → 0 ⁡ sec ⁡ π 6 + h - sec ⁡ π 6 h Interpretando-o como uma derivada.
54. Se f e g são duas funções, tais que suas derivadas primeira e segunda existem e h é uma função definida pela equação hx =f x ⋅ g ( x ) , prove que h ' ' ( x ) = f x ⋅ g ' ' x+2 f ' x g ' x +f ' '