A função e^x cresce mais rapidamente que qualquer polinômio. Demonstre que quando x → infinito e^x cresce mais rapidamente que qualquer polinômio.

Passo 1

Galera, queremos demonstrar que, e x cresce mais rapidamente que qualquer polinômio quando x → ∞ . Para isso, considere o polinômio geral a seguir:

a n x n + a n - 1 x n - 1 + … . + a 1 x + a 0

Para verificar a taxa de crescimento, calculamos o limite:

lim x → ∞ ⁡ p ( x ) e x = a n   l i m x → ∞   x n e x + a n - 1 l i m x → ∞ x n - 1 e x + … + a 1 l i m x → ∞ x e x + a 0 l i m x → ∞ 1 e x

Pelo exercício anterior ( então se você não lembra, volte lá na questão 19), temos que cada um desses limites é zero, então:

l i m x → ∞ p ( x ) e x = 0

Portanto, e x cresce mais rapidamente que qualquer polinômio quando x → ∞ .

Resposta

Questão de demonstração

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