Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 6l

Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

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Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando e quando . Como sempre será positivo, independente do valor de , então nem precisamos inclui-lo na análise, tudo bem? Sendo assim, temos que:

Agora para o segundo caso:

Mas poxa, para quais valores de resolvemos essas desigualdades? Então galera, se lembrarmos da trigonometria, teremos que:

Intervalos crescentes: ;

Intervalos decrescentes: .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Observando o gráfico conseguimos notar que realmente nosso resultado faz sentido! À esquerda de a derivada é positiva, à direita de a derivada é negativa, à esquerda de a derivada é negativa e, por fim, à direita de a derivada é positiva, assim como concluímos nos intervalos do passo .