14. Determinar a área entre as elipses:

(a) 4x^2 + y^2 = 4 e x^2 / 9 + y^2 / 4 = 1

Passo 1

Para a primeira elipse:

Vamos usar a fórmula

A = 1 2 ∫ C x d y - y d x

Usando a equação paramétrica da elipse (com theta variando de 0 a 2pi)

x = c o s θ

d x = - s e n θ d θ

y = 2 s e n θ

d y = 2 c o s θ d θ

Substituindo

A = 1 2 ∫ 0 2 π c o s θ ( 2 c o s θ d θ ) - 2 s e n θ - s e n θ d θ

= 1 2 ∫ 0 2 π 2 c o s θ 2 + s e n θ 2 d θ

= 1 2 ∫ 0 2 π 2   d θ = 2 π

Passo 2

Para a segunda elipse:

Vamos usar a fórmula

A = 1 2 ∫ C x d y - y d x

Usando a equação paramétrica da elipse (com theta variando de 0 a 2pi)

x = 3 c o s θ

d x = - 3 s e n θ d θ

y = 2 s e n θ

d y = 2 c o s θ d θ

Substituindo

A = 1 2 ∫ 0 2 π 3 c o s θ ( 2 c o s θ d θ ) - 2 s e n θ - 3 s e n θ d θ

= 1 2 ∫ 0 2 π 6 c o s θ 2 + s e n θ 2 d θ

= 1 2 ∫ 0 2 π 6   d θ = 6 π

Agora é só subtrair uma área da outra

6 π - 2 π = 4 π

Resposta

4 π

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