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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 10

Calcular ∬_R^() y d x d y , sendo R a região delimitada por y = x , y = 2 x e y = sqrt(4 - x^2) .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Assim:

y <= sqrt(4 - x^2)

y^2 <= 4 - x^2

x^2 + y^2 <= 4

Como:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Temos:

r^2 <= 4

r <= 2

E:

x <= sqrt(4 - x^2) e 2 x <= sqrt(4 - x^2)

sqrt(2) <= x <= (2)/(sqrt(5))

Como:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Temos:

sqrt(2) <= r cos theta <= (2)/(sqrt(5))

sqrt(2) <= 2 cos theta <= (2)/(sqrt(5))

(sqrt(2))/(2) <= cos theta <= (1)/(sqrt(5))

arccos (sqrt(2))/(2) <= theta <= arccos (1)/(sqrt(5))

(pi)/(4) <= theta <= arccos (1)/(sqrt(5))

Desse modo, temos que:

0 <= r <= 2

(pi)/(4) <= theta <= arccos (1)/(sqrt(5))

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ r sen theta * r d r d theta

Passo 3

Integrando para r :

int_0^2 r^2 s e n theta d r = (r^3)/(3) s e n theta

Aplicando os limites:

(8 - 0)/(3) s e n theta = (8)/(3) s e n theta

Passo 4

Integrando para theta :

int_((pi)/(4))^(arccos (1)/(sqrt(5))) (8)/(3) s e n theta d theta = - (8)/(3) cos theta

Aplicando os limites:

- (8)/(3) (cos (arccos (1)/(sqrt(5))) - cos ((pi)/(4))) = - (8)/(3) ((1)/(sqrt(5)) - (sqrt(2))/(2)) = - (8 sqrt(5))/(15) + (4 sqrt(2))/(3)

Resposta

- (8 sqrt(5))/(15) + (4 sqrt(2))/(3)

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