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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 12

Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.

1 2 .   z = 16 - x 2 - 3 y 2 e z = 4

Passo 1

O sólido é delimitado superiormente por z = 16 - x 2 - 3 y 2 e inferiormente por z = 4 . A região de interseção entre o paraboloide e o plano dado é:

16 - x 2 - 3 y 2 = 4

x 2 + 3 y 2 = 12

x 2 12 + y 2 4 = 1

Uma elipse.

Agora, utilizaremos de substituições para facilitarmos a resolução:

x = 12 u e y = 2 v

u 2 + v 2 = 1

J = 12 0 0 2 = 2 12

Agora temos uma esfera de raio igual a 1 centrada na origem.

Assim, a equação do volume fica:

V = ∬ ( 16 - x 2 - 3 y 2 - 4 ) d x d y = ∬ ( 12 - 12 u 2 - 12 v 2 ) ⋅ 2 12   d u d v

V = ∬ 12 - 12 u 2 + v 2 ⋅ 2 12   d u d v

Passo 2

Agora, transformando para coordenadas polares, temos:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

V = 24 12 ∬ 1 - u 2 + v 2 d u d v = 24 12 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 1 - r 2 ) ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

24 12 ∫ 0 1     ( r - r 3 )   d r = 24 12 r 2 2 - r 4 4

Aplicando os limites:

1 - 0 ⋅ 1 2 - 1 - 0 ⋅ 1 4 ⋅ 24 12 = 24 12 ⋅ 1 4 = 6 12

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 6 12 d θ = 6 12 θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 ⋅ 6 12 = 12 π 12 = 12 π 4 ⋅ 3 = 24 π 3

Resposta

24 π 3   u . v .

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Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.24- Limitada pelo paraboloide z = 10 - 3 x 2 - 3 y 2 e pelo plano z = 4 .