Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.16 - Ex. 1l
Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da seguinte função:
Passo 1
Vamos procurar as assíntotas horizontais e verticais da função. Pra encontrar as horizontais, é molezinha: vamos fazer o limite da função com tendendo ao infinito e a menos infinito. O valor que encontrarmos será o da reta que é a assíntota horizontal. Bom, mas já vamos parar por aqui e analisar: qual é o limite da tangente quando o tende ao infinito? Não dá pra saber, porque a função é trigonométrica, e portanto, limitada! Daí já podemos dizer que não tem assíntota horizontal.
Passo 2
Para a assíntota vertical, a gente vai buscar os valores que levam a função pro infinito, tanto faz se pro lado positivo ou negativo. Pra isso a gente vai catar lá nos valores que a gente vê que tem um comportamento diferente. Bom, nessa questão dá pra ver que tem alguma coisa no e no , né? Vamos calcular os limites nesse então!
Para :
Nesse caso o está vindo de um valor maior que o , então ele está vindo do segundo quadrante. Nesse quadrante, a tangente é negativa! Portanto,
Para :
Nesse caso o está vindo de um valor menor que o , então ele está vindo do primeiro quadrante. Nesse quadrante, a tangente é positiva! Portanto,
Portanto, a gente tem uma assíntota vertical em .
Para :
Nesse caso o está vindo de um valor maior que o , então ele está vindo do quarto quadrante. Nesse quadrante, a tangente é negativa! Portanto,
Para :
Nesse caso o está vindo de um valor menor que o , então ele está vindo do terceiro quadrante. Nesse quadrante, a tangente é positiva! Portanto,
E assim, a gente tem uma assíntota vertical em .
Passo 3
Mas se liga, quem é que disse que o é um ângulo da primeira volta do círculo trigonométrico? Ele pode estar em qualquer uma! Se a gente partir do ângulo , tá vendo que é só a gente somar ou subtrair que a gente chega em outra assíntota, já que o ângulo vai ser o mesmo (trigonometricamente falando)? Então as assíntotas podem ser escritas generalizadas como:
Onde é um número inteiro qualquer! Sacou?
Resposta
As assíntotas são , .