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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.6 - Ex. 21

Encontre o limite ou demonstre que não existe.

underset(x -> oo)(lim) ((2 x^2 + 1)^2)/((x - 1)^2 ( x^2 + x ))

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos que calcular o seguinte limite:

underset(x -> oo)(lim) ((2 x^2 + 1)^2)/((x - 1)^2 ( x^2 + x ))

Ou então, provar que ele não existe!

Se aplicamos diretamente oo em x , chegamos à indeterminação (oo)/(oo) . Precisamos então manipular nossa função e fugir da indeterminação!

Passo 2

Nossa função é:

((2 x^2 + 1)^2)/((x - 1)^2 ( x^2 + x ))

Se abrimos essa expressão vamos ficar com:

(4 x^4 + 4 x^2 + 1)/((x^2 - 2 x + 1) ( x^2 + x )) = (4 x^4 + 4 x^2 + 1)/(x^4 - x^3 - x^2 + x)

Tem uma tática muito legal pra usar quando estamos tendendo pro infinito que é manipular a fórmula pra que a variável fique no denominador, isso porque:

underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x) = 0

Imagina dividir (1)/(100000000000000) o resultado disso é beeem próximo de zero e quanto mais a gente aumenta o denominador, mais próximos estamos de zero! Sacou?!

Para isso vamos olhar pro denominador da nossa função e procurar a variável de maior grau, aqui é x^4 . Agora vamos dividir todo mundo por x^4 :

((4 x^4)/(x^4) + (4 x^2)/(x^4) + (1)/(x^4))/((x^4)/(x^4) - (x^3)/(x^4) - (x^2)/(x^4) + (x)/(x^4)) = (4 + (4)/(x^2) + (1)/(x^4))/(1 - (1)/(x) - (1)/(x^2) + (1)/(x^3))

Passo 3

Agora é só aplicar oo e testar se chegamos a algum resultado numérico. Vamos ter:

underset(x -> oo)(lim) (4 + (4)/(x^2) + (1)/(x^4))/(1 - (1)/(x) - (1)/(x^2) + (1)/(x^3)) = (4 + (4)/(oo^2) + (1)/(oo^4))/(1 - (1)/(oo) - (1)/(oo^2) + (1)/(oo^3))

Lembra que uma divisão por oo tende a zero. Assim, temos:

(4 + (4)/(oo^2) + (1)/(oo^4))/(1 - (1)/(oo) - (1)/(oo^2) + (1)/(oo^3)) = (4 + 0 + 0)/(1 - 0 - 0 + 0) = 4

Logo:

underset(x -> oo)(lim) ((2 x^2 + 1)^2)/((x - 1)^2 ( x^2 + x )) = 4

Resposta

underset(x -> oo)(lim) ((2 x^2 + 1)^2)/((x - 1)^2 ( x^2 + x )) = 4

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