Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 1

Um hemisfério e uma porção de um paraboloide são mostrados. Suponha um campo vetorial no cujas componentes tem derivadas parciais contínuas. Explique por quê.

Passo 1

Faaaala galera, beleza!? Vamos começar então!

Nosso objeto é explicar porque a seguinte relação é válida:

Suponha um campo vetorial no cujas componentes tem derivadas parciais contínuas.

Onde, é um hemisfério e a porção de um paraboloide.

Vamos pensar juntos com calma!

Essa questão é teórica, mas nada impossível!

Vamos lembrar do Teorema de Stokes antes:

Ou seja, o Teorema de Stokes nos diz que a integral de linha em torno da curva fronteira de da componente tangencial de é igual à integral de superfície sobre da componente normal do rotacional de F.

Sabendo disso, podemos começar a analisar a questão com mais clareza.

Uma dica, observe que ambas as superfícies possuem a mesma curva C fechada.

Com essas informações, ficou fácil ein!

Bora lá!

Passo 2

Agora que já analisamos as superfícies e com muita calma.

Conseguimos perceber que ambas são orientadas, suaves por partes, cujas fronteiras são formadas pela mesma curva fechada. Que podemos dizer que é orientada positiva para ambas superfícies.

Que na questão é circunferência:

Pelo teorema de Stokes, sabemos que o a integral de linha na curva fechada do hemisfério H vai ser:

Já a integral de linha na curva fechada do paraboloide P, temos:

Agora consegui perceber que a curva C é a mesma para as duas regiões. Isso implica que a integral de linha vai ser a mesma para ambos os casos.

Então, e satisfazem a hipótese do Teorema de Stokes, nos levando a concluir que

Assim, demonstramos que:

Resposta

Demonstração

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