Um hemisfério H e uma porção P de um paraboloide são mostrados. Suponha F um campo vetorial no R 3 cujas componentes tem derivadas parciais contínuas. Explique por quê.

∬ H r o t F ∙ d S = ∬ P r o t F ∙ d S

Passo 1

Faaaala galera, beleza!? Vamos começar então!

Nosso objeto é explicar porque a seguinte relação é válida:

∬ H r o t F ∙ d S = ∬ P r o t F ∙ d S

Suponha F um campo vetorial no R 3 cujas componentes tem derivadas parciais contínuas.

Onde, H é um hemisfério e P a porção de um paraboloide.

Vamos pensar juntos com calma!

Essa questão é teórica, mas nada impossível!

Vamos lembrar do Teorema de Stokes antes:

Ou seja, o Teorema de Stokes nos diz que a integral de linha em torno da curva fronteira de S da componente tangencial de F é igual à integral de superfície sobre S da componente normal do rotacional de F.

Sabendo disso, podemos começar a analisar a questão com mais clareza.

Uma dica, observe que ambas as superfícies possuem a mesma curva C fechada.

Com essas informações, ficou fácil ein!

Bora lá!

Passo 2

Agora que já analisamos as superfícies H e P com muita calma.

Conseguimos perceber que ambas são orientadas, suaves por partes, cujas fronteiras são formadas pela mesma curva C fechada. Que podemos dizer que é orientada positiva para ambas superfícies.

Que na questão é circunferência:

x 2 + y 2 = 4 ,     z = 0

Pelo teorema de Stokes, sabemos que o a integral de linha na curva fechada do hemisfério H vai ser:

∬ C F ∙ d r = ∬ H r o t F ∙ d S

Já a integral de linha na curva fechada do paraboloide P, temos:

∬ C F ∙ d r = ∬ P r o t F ∙ d S

Agora consegui perceber que a curva C é a mesma para as duas regiões. Isso implica que a integral de linha vai ser a mesma para ambos os casos.

Então, H e P satisfazem a hipótese do Teorema de Stokes, nos levando a concluir que

∬ H r o t F ∙ d S = ∬ C F ∙ d r = ∬ P r o t F ∙ d S

Assim, demonstramos que:

∬ H r o t F ∙ d S = ∬ P r o t F ∙ d S

Resposta

Demonstração

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