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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.7 - Ex. 2c

Parametrizar as seguintes superfícies, determinando as curvas coordenadas, nos pontos indicados:

  1. Cone x 2 + z 2 - y 2 = 0 ; y ≥ 0 ;   P 2 ,   13 , 3 .

Passo 1

Beleza galeraa!!

Para parametrizar o cone, ao redor de y:

x = v . sen ⁡ ( α ) . cos ⁡ ( u )

y = v cos ⁡ ( α )

z = v . sen ⁡ ( α ) . sen ⁡ ( u )

No nosso caso:

x 2 + z 2 = y 2

v 2 . sen 2 ⁡ ( α ) . cos 2 ⁡ ( u ) + v 2 . sen 2 ⁡ ( α ) . sen 2 ⁡ ( u ) = v 2 cos 2 ⁡ ( α )

v 2 . sen 2 ⁡ α . ( cos 2 ⁡ u + sen 2 ⁡ u ) = v 2 cos 2 ⁡ ( α )

v 2 . sen 2 ⁡ α = v 2 cos 2 ⁡ ( α )

t g 2 α = 1

α = π 4

Parametrizando:

x = v . sen ⁡ π 4 . cos ⁡ ( u ) → x = 2 2 v . cos ⁡ ( u )

y = v cos ⁡ π 4 → y = 2 2 v

z = v . sen ⁡ π 4 . sen ⁡ ( u ) → z = 2 2 v sen ⁡ ( u )

Então a equação paramétrica será:

r → u , v = 2 2 v . cos ⁡ ( u ) ,   2 2 v ,   2 2 v sen ⁡ ( u )

No ponto dado, olhando para y:

y = 2 2 v = 13 → v = 2 13 2

Olhando para o x:

x = 2 2 v . cos ⁡ ( u ) = 2

Substituindo v:

2 2 × 2 13 2 . cos ⁡ ( u ) = 2

cos ⁡ ( u ) = 2 13

E para o z:

z = 2 2 v sen ⁡ ( u ) = 3

2 2 × 2 13 2 sen ⁡ ( u ) = 3

sen ⁡ ( u ) = 3 13

u = 0,313 π

Shoow !!

Agora vamos guardar esta informação!

Passo 2

Para a u-curva, teremos r → u , 2 13 2 :

r → u . 2 13 2 = 2 2 × 2 13 2 . cos ⁡ ( u ) ,   2 2 × 2 13 2 ,   2 2 × 2 13 2 sen ⁡ ( u )

Substituindo:

r → u . 2 13 2 = 13 . cos ⁡ ( u ) ,   13 ,   13 sen ⁡ ( u )

Para a v-curva, teremos r → 0,313 π , v :

r → 0,313 π , v = 2 2 × 2 13 v ,   2 2 v ,   2 2 × 3 13 v

Substituindo:

r → 0,313 π , v = 2 13 v ,   2 2 v ,   3 2 2 13 v

E é isso aí, galera !!

Resposta

r → u . 2 13 2 = 13 . cos ⁡ ( u ) ,   13 ,   13 sen ⁡ ( u ) ;

r → 0,313 π , v = 2 13 v ,   2 2 v ,   3 2 2 13 v .

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Seja S uma superfície descrita pela equação r → u . v = ( u . cos ⁡v , 2 u 2 ,u . s e n( v ) ) , onde 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 2 π . Representar graficamente a superfície S.
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Determinar um campo normal unitário do plano que passa nos pontos 1,0 , 0 , ( 0,1 , 0 ) e 0,0 , 1 , usando as seguintes parametrizações r → u , v = u + v i ^ + u - v j ^ + 1 - 2 u k ^
Determinar o campo normal unitário do paraboloide r → u , v = u cos ⁡ v ,us e nv ,u 2 - 1 Representando-o graficamente sobre a superfície