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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 24a

Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:

a) r → t = e t cos ⁡ t ,   e t s e n t , e t ,   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l = ∫ a b r ' → t d t

Essa formula nos dá o comprimento da curva r → t entre os pontos a e b . Repare que r ' → t é o modulo do vetor r ' → t . Então vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos pede para calcular o comprimento de r → t   entre os pontos 0 e 1 .Incialmente, vamos encontrar r ' → t .

r → t = e t cos ⁡ t ,   e t s e n t , e t

Derivando,

r ' → t = e t cos ⁡ t + e t - s e n t ,   e t s e n t + e t cos ⁡ t ,   e t

Isto é,

r ' → t = e t cos ⁡ t - e t s e n t ,   e t s e n t + e t cos ⁡ t ,   e t

Passo 3

Agora que já encontramos r ' → t , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

r ' → t = e t cos ⁡ t - e t s e n t 2 + e t s e n t + e t cos ⁡ t 2 + e t 2

Tirando o e t da raiz:

r ' → t = e t cos ⁡ t - s e n t 2 + cos ⁡ t + s e n t 2 + 1

Agora vamos calcular os termos dentro da raiz:

cos ⁡ t - s e n t 2 = cos 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ t s e n t + s e n 2 t

cos ⁡ t - s e n t 2 = cos 2 ⁡ t + 2 cos ⁡ t s e n t + s e n 2 t

Somando os dois:

cos ⁡ t - s e n t 2 + cos ⁡ t + s e n t 2 = 2 cos 2 ⁡ t + s e n 2 t

Mas lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Logo,

cos ⁡ t - s e n t 2 + cos ⁡ t + s e n t 2 = 2

Voltando para r ' → t :

r ' → t = e t 2 + 1 →   r ' → t = e t 3

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:  

l = ∫ a b e t 3 d t

Como estamos pegando entre os pontos 0 e 1:

l = 3 ∫ 0 1 e t d t

Integrando:

l = 3 × e t 0 1

Isto é,

l = 3 × e 1 - e 0

Portanto,

l = 3 e - 1

Resposta

l = 3 e - 1

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