Trace a curva com uma ferramenta gráfica e calcule seu comprimento

r = cos^2(θ / 2)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... primeiramente queremos esboçar a seguinte curva polar em um software matemático:

r = cos 2 ⁡ θ 2

Em seguida, deveremos calcular o comprimento L dessa curva completa.

Para calcular esse comprimento L , devemos saber que:

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2   d θ

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Vamos começar traçando a curva, até mesmo pra gente poder descobrir o intervalo de variação do θ .

Se fizermos 0 ≤ θ ≤ 2 π teremos:

E pronto, nossa curva já dá uma volta completa!

Passo 3

Agora vamos calcular o comprimento.

O comprimento de uma curva em coordenadas polares é dado por

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2   d θ

O intervalo de integração a gente descobriu ali no passo 1:

a = 0

b = 2 π

Os outros termos da integral vão ficar:

r = cos 2 ⁡ θ 2

Elevando ao quadrado:

r 2 = cos 4 ⁡ θ 2

E

d r d θ = 2 cos ⁡ θ 2 ∙ - sen ⁡ θ 2 ∙ 1 2 ∴

d r d θ = - cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2

Elevando ao quadrado:

d r d θ 2 = cos 2 ⁡ θ 2 sen 2 ⁡ θ 2

Agora vamos substituir esses termos na nossa integral!!

Passo 4

Substituindo tudo na integral:

L = ∫ 0 2 π cos 4 ⁡ θ 2 + cos 2 ⁡ θ 2 sen 2 ⁡ θ 2   d θ

Colocando cos 2 ⁡ θ 2 em evidência, temos:

L = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ 2 cos 2 ⁡ θ 2 + sen 2 ⁡ θ 2   d θ

Sabemos que sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 (em que ϕ seja qualquer ângulo), portanto:

L = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ 2 ∙ 1   d θ

Podemos eliminar a raiz:

L = ∫ 0 2 π cos ⁡ θ 2   d θ

Opaaaaa, perae...

Seguinte... se resolvermos essa integral, voc�� verá que resultará em zero.

Mas nesse caso, se você analisar a figura, é como se estivéssemos somando a parte positiva do gráfico com a parte negativa (com sinal de " - " ). Assim, o resultado ia ser 0 mesmo.

Mas queremos encontrar a área total. Nesse caso, a gente pode dizer que essa área é o dobro da parte positiva, concorda??

Ou seja, podemos dizer que:

L = 2 ∫ 0 π cos ⁡ θ 2   d θ

Passo 5

Agora vamos lá!!

Como:

cos ⁡ θ 2 ≥ 0

No intervalo 0 ≤ θ ≤ π , então:

L = 2 × 2 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ 2   d θ

Além disso, podemos fazer a seguinte substituição:

u = θ 2 ∴ d u = d θ

Dessa forma, teremos:

L = 4 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ u   d u

Atenção que o intervalo que era até π passa a ser até π 2 !!

L = 4 sen ⁡ u π / 2 0 ∴

L = 4 sen ⁡ π 2 - sen ⁡ 0 ∴

L = 4 1 - 0 ∴

L = 4

Resposta

L = 4

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