Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.

d) r(t) = (1 + cos(t), 1 + sen(t), 2t) , t ∈ [0, 4π]

Passo 1

A curva que ele nos deu foi a seguinte:

  r → t = 1 + cos ⁡ t ,   1 + sen ⁡ t ,   2 t

Assim,

x = 1 + cos ⁡ t y = 1 + s e n t z = 2 t

Isolando o s e n t e o cos ⁡ t :

s e n t = y - 1 ; cos ⁡ t = x - 1

Passo 2

Mas lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Logo,

y - 1 2 + x - 1 2 = 1 e z = 2 t

Fazendo uma ilustração:

Onde o sentido positivo é para da curva.

Passo 3

Para finalizar, ele nos pede para encontrarmos a parametrização com a orientação no sentido contrário.

r → t = 1 + cos ⁡ t ,   1 + sen ⁡ t ,   2 t

Repare que estamos com valores de t ∈ 0,4 π . Então para pegarmos o sentido contrário, vamos trocar t por 4 π - t . Assim,

f → t = 1 + cos ⁡ 4 π - t ,   1 + sen ⁡ 4 π - t ,   2 × 4 π - t

Logo,

f → t = 1 + cos ⁡ t ,   1 + - sen ⁡ t ,   8 π - 2 t

Portanto,

f → t = 1 + cos ⁡ t ,   1 + - sen ⁡ t ,   8 π - 2 t , t ∈ 0,4 π

Resposta

f → t = 1 + cos ⁡ t ,   1 + - sen ⁡ t ,   8 π - 2 t , t ∈ 0,4 π

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