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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 56

Determinar (del^3 vec f)/(del x del y del z) e (del^4 vec f)/(del x del z^2 del y) sendo vec f (x , y , z) = (x y^4 , x z^3 + 1 , x e^(y z)) .

Passo 1

Então galera, aqui teremos que colocar nossos conhecimentos sobre derivadas à prova mesmo! Caso você ainda esteja com alguma dificuldade em derivação, sugiro dar uma relembrada rápida aqui mesmo nas playlists do RespondeAí para resolvermos o problema tranquilão, beleza? Então vamos lá!

Inicialmente precisamos determinar a seguinte derivada:

(del^3 vec f)/(del x del y del z)

Em outras palavras, temos que derivar a função que nos foi dada na seguinte ordem: primeiro em relação a z , depois em relação a y e, por fim, em relação a x .

Passo 2

Derivando a nossa função em relação a z , teremos:

(del vec f)/(del z) = (0 , 3 x z^2 , x . e^(y z) . y)

Agora derivando em relação a y , teremos:

(del^2 vec f)/(del y del z) = (0 , 0 , x . e^(y z) + x y z . e^(y z))

Por fim, derivando em relação a x , teremos:

(del^3 vec f)/(del x del y del z) = (0 , 0 , e^(y z) + y z . e^(y z))

E essa é a primeira derivada que nos foi solicitada!

Passo 3

Para a segunda derivada que nos foi pedida, vamos seguir a mesma linha de raciocínio da primeira, tudo bem? Temos que derivar a função que nos foi dada na seguinte ordem: primeiro em relação a y , depois duas vezes em relação a z e, por fim, em relação a x .

Derivando em relação a y :

(del vec f)/(del y) = (4 x y^3 , 0 , x z . e^(y z))

Derivando duas vezes em relação a z :

(del^2 vec f)/(del z del y) = (0 , 0 , x . e^(y z) + x y z . e^(y z))

(del^3 vec f)/(del z^2 del y) = (0 , 0 , x y . e^(y z) + x y (e^(y z) + z y . e^(y z)))

Por fim, derivando em relação a x :

(del^4 vec f)/(del x del z^2 del y) = (0 , 0 , y . e^(y z) + y . e^(y z) + z y^2 . e^(y z))

:. (del^4 vec f)/(del x del z^2 del y) = (0 , 0 , 2 y . e^(y z) + z y^2 . e^(y z))

E essa é a outra derivada que queríamos!

Resposta

(del^3 vec f)/(del x del y del z) = (0 , 0 , e^(y z) + y z . e^(y z))

(del^4 vec f)/(del x del z^2 del y) = (0 , 0 , 2 y . e^(y z) + z y^2 . e^(y z))

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