Dizemos que uma δ : [α, β] → R^n , com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se ‖δ'‖ = 1 , para todo s ∈ [α, β] . Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco. Interprete o parâmetro s .

a) δ(s) = (cos(s), sin(s)), s ≥ 0

Passo 1

Podemos interpretar δ ' s como sendo:

δ ' s = δ ' 1 2 + δ ' 2 2

Então, vamos achar cada um:

δ ' 1 2 + δ ' 2 2 = cos ⁡ s ' 2 + sin ⁡ s ' 2 = sin 2 ⁡ s + cos 2 ⁡ s

= sin 2 ⁡ s + cos 2 ⁡ s

Passo 2

Podemos interpretar δ ' s como sendo:

Uma relação trigonométrica conhecida é:

sin 2 ⁡ s + cos 2 ⁡ s = 1

Assim:

sin 2 ⁡ s + cos 2 ⁡ s = 1 = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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