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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 3d

Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares (Utilize o exercício 2)

d )   ρ = e θ ,     θ ∈ 0 , 2 π

Passo 1

No exercício 2, o livro pede pra provarmos que se tivermos γ : α ,   β → R 2 uma curva dada em coordenadas polares por ρ = ρ θ ,   θ ∈ α ,   β .

Supondo que ρ = ρ θ tenha derivada contínua. Podemos dizer que:

L γ = ∫ α β ρ 2 + d ρ d θ 2 d θ

Assim, vamos usar essa relação pra calcular o comprimento da curva acima:

L γ = ∫ 0 2 π e - θ 2 + d e - θ d θ 2 d θ

Passo 2

Calculando:

L γ = ∫ 0 2 π e - θ 2 + d e - θ d θ 2 d θ =

= ∫ 0 2 π e - 2 θ   + - e - θ 2 d θ

= ∫ 0 2 π 2 e - 2 θ d θ = ∫ 0 2 π e - θ 2 d θ = 2 ∫ 0 2 π e - θ d θ = 2 - e - θ 2 π 0 = 2 - e - 2 π - - 1

2 - e - 2 π + 1

Resposta

L γ = 2 - e - 2 π + 1

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