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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 8c

Reparametrize pelo comprimento de arco a curva γ dada:

c )   γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   t ,     t ≥ 0

Passo 1

O nosso objetivo aqui é fazer com que γ ' t seja igual a 1, porém se fizermos os cálculos vamos achar um resultado diferente:

γ ' t = γ ' 1 2 + γ ' 2 2 + γ ' 3 2

Vamos ficar com:

γ ' 1 2 + γ ' 2 2 + γ ' 3 2 = cos ⁡ t ' 2 + sin ⁡ t ' 2 + t ' 2 = - sin ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 + 1 2

= sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + 1 = sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + 1 = 2

Para que tenhamos que esse resultado dê 1 vamos aplicar a normalização, ou seja, aplicamos uma substituição, tal que quando derivarmos teremos o resultado da norma igual a 1:

Passo 2

Uma boa substituição é t = s 2 por que quando derivarmos a função ficaremos com:

γ ' s 2 = γ ' 1 2 + γ ' 2 2 + γ ' 3 2 = cos ⁡ s 2 ' 2 + sin ⁡ s 2 ' 2 + s 2 ' 2

= - 1 2 sin ⁡ s 2 2 + 1 2 cos ⁡ s 2 2 + 1 2 2

= 1 2 sin 2 ⁡ s 2 + 1 2 cos 2 ⁡ s 2 + 1 2 = 1 2 sin 2 ⁡ s 2 + cos 2 ⁡ s 2 + 1 2 = 1 2 + 1 2 = 1 = 1

Resposta

O novo parâmetro será:

γ s 2 = cos ⁡ s 2 , sin ⁡ s 2 , s 2

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