Determinar dois vetores unitários, tangentes à curva definida pela função dada, no ponto indicado.

b) g(t) = (4 + 2 * cos(t), 2 + 2 * sen(t), 1); P(4,4,1)

Passo 1

A ideia nessa questão será encontrar qual é o ponto da curva tal que g → t 0 = P , em seguida, vamos encontrar a derivada da curva. Para finalizar, vamos achar o a valor da derivada no ponto t 0 e fazer o vetor unitário nesse ponto. Vem comigo!

A curva que ele nos deu foi a seguinte:

g → t = 4 + 2 cos ⁡ t ,   2 + 2 s e n t , 1

Então vamos achar qual é o ponto t 0 onde g → t 0 = P . Vem comigo!

g → t 0 = 4 + 2 cos ⁡ t ,   2 + 2 s e n t , 1

Como queremos g → t 0 = P :

4 + 2 cos ⁡ t 0 ,   2 + 2 s e n t 0 , 1 = 4,4 , 1

Pelas coordenadas x e y :

4 + 2 cos ⁡ t 0 = 4 2 + 2 s e n t 0 = 4

Logo,

cos ⁡ t 0 = 0 s e n t 0 = 1

Portanto,

t 0 = π 2

Passo 2

Para acharmos um vetor tangente a curva, vamos derivar a expressão da curva.

g → t = 4 + 2 cos ⁡ t ,   2 + 2 s e n t , 1

Derivando,

g ' → t = - 2 s e n t , 2 cos ⁡ t ,   0

Passo 3

Pra finalizar, bora vamos calcular o valor de g ' → t no ponto t = t 0 , isto é, t = π 2 .

g ' → t = - 2 s e n t , 2 cos ⁡ t ,   0

No ponto t = π 2 :

g ' → π 2 = - 2 s e n π 2 , 2 cos ⁡ π 2 ,   0

Fazendo as contas:

g ' → π 2 = - 2,0 , 0

Mas ainda não acabou, pois ele nos pede dois vetores unitário. Para isso, vamos “dividir” o vetor pelo seu módulo. Se liga só:

u → = 1 - 2 2 + 0 2 + 0 2 × - 2,0 , 0

Arrumando as coisas:

u → = - 1 ,   0,0

Como ele nos pede dois vetores podemos apenas mudar o sentido do vetor que achamos, o que irá gerar um vetor ainda tangente. Logo,

± - 1,0 , 0

Resposta

± - 1,0 , 0

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