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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 10b

Se r → t é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da partícula é perpendicular a r → t .

b) r → t = cos ⁡ 3 t ,   s e n 3 t

Passo 1

Inicialmente temos que lembrar das coisas que aprendemos lá em física: A velocidade é a derivada do vetor posição. Com isso, achamos o vetor velocidade e para mostra que um vetor é perpendicular ao outro, basta verificarmos que o produto escalar é zero. Então vamos lá!

O vetor posição é o seguinte:

r → t = cos ⁡ 3 t ,   s e n 3 t

Para acharmos o vetor velocidade, vamos derivar r → t . Assim,

v → t = - 3 s e n 3 t , 3 cos ⁡ 3 t

Aqui só precisamos ter um pouco de cuidado com a regra da cadeia!

Passo 2

Para finalizar, vamos verificar que o produto escalar é zero.

r → t ⋅ v → t = cos ⁡ 3 t ,   s e n 3 t ⋅ - 3 s e n 3 t , 3 cos ⁡ 3 t

Logo,

r → t ⋅ v → t = cos ⁡ 3 t × - 3 s e n 3 t +   s e n 3 t × 3 cos ⁡ 3 t

Arrumando as coisas:

r → t ⋅ v → t = - 3 sen 3 t cos ⁡ 3 t +   3 s e n 3 t cos ⁡ 3 t

Simplificando:

r → t ⋅ v → t = 0

Opa, como deu zero isso quer dizer que o vetor velocidade da partícula é realmente perpendicular a r → t .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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