Determinar um vetor tangente à curva definida pela função dada no ponto indicado.

p → t = (1 - t, 1 / (1 - t)) , P(-1, -1)

Passo 1

A ideia nessa questão será encontrar qual é o ponto da curva tal que p → t 0 = P , em seguida, vamos encontrar a derivada da curva e pra fechar com chave de ouro vamos achar o a valor da derivada no ponto t 0 . Vamos lá!

A curva que ele nos deu foi a seguinte:

p → t = 1 - t , 1 1 - t

Para acharmos um vetor tangente a curva, vamos derivar a expressão da curva. Assim,

p ' → t = - 1 , 1 1 - t '

Para a derivada da coordenada y :

1 1 - t ' = 1 - t - 1 '

Derivando,

1 1 - t ' = - 1 × 1 - t - 2 × - 1

Cuidado com a regra de cadeia em! logo,

p ' → t = - 1 , 1 1 - t 2

Passo 2

Agora vamos descobrir qual é o ponto t 0 onde p → t 0 = P . Vem comigo!

p → t 0 = 1 - t 0 , 1 1 - t 0

Como queremos p → t 0 = P :

1 - t 0 , 1 1 - t 0 = - 1 ,   - 1

Pela coordenada x :

1 - t 0 = - 1 → t 0 = 2

Passo 3

Pra finalizar, basta verificarmos qual é o valor de p ' → t no ponto t = t 0 , isto é, t = 2 . Assim,

p ' → 2 = - 1 , 1 1 - 2 2

Fazendo as contas:

p ' → 2 = - 1,1

Então, o vetor tangente à curva no ponto P será - 1,1 .

Resposta

- 1,1

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